Géométrie Tropicale
Journees Mathematiques X-Ups 2008
avec Pascale Harinck, Alain Plagne, Claude Sabbah, Ilia Itenberg.
Editeur : Ecole Polytechnique (janvier 2009 - 114 pages)
ISBN-10: 2730215298
Les journées X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de Mathématiques dé l'Ecole polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires. L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs des classes préparatoires pour l'actualité de la recherche en mathématiques, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.
En dépit de son qualificatif évocateur (et de l'illustration de couverture), la " géométrie tropicale " ne décrit pas une région foisonnante de la planète. Les " amibes " qu'on y rencontre, inoffensives, aideront le lecteur à mieux la comprendre à partir de la géométrie classique. Dans cette géométrie, les opérations d'addition et de multiplication sont respectivement remplacées par le maximum et l'addition. Que deviennent les polynômes et leurs graphes? Quelle forme ont les courbes qui s'en déduisent ? Comment s'intersectent-elles ? Une des origines de ces questions réside dans la méthode de Newton pour la résolution des équations algébriques, et l'approche non archimédienne donne un nouvel éclairage sur cette géométrie. Le texte d'Ilia Itenberg sert d'introduction à l'ensemble, et analyse en détail l'algèbre " max-plus " ; celui d'Erwan Brugallé nous montre l'intérêt de compter en géométrie tropicale ; enfin, celui de Bernard Teissier aborde la résolution d'équations algébriques.
Au sommaire
Introduction à la géométrie tropicale
- Semi-corps tropical
- Courbes tropicales dans R au carré
- Amibes de courbes complexes
- Amibes non archimédiennes
Géométrie énumératives complexe, réelle et tropicale
- Géométrie énumérative complexe
- Géométrie énumérative réelle
- Géométrie énumérative tropicale
- Décomposition en étages de courbes tropicales
- Applications
Amibes non archimédiennes
- Quelques rappels
- Polyèdres de Newton
- Fonction d'appui et transformation de Legendre
- Complexes polyédraux rationnels
- Amibes non archimédiennes et amibes classiques
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